7.1 Переходный процесс линейных цепей

Схема, состоящая из идеальных линейных компонентов, например схема, состоящая из компонентов накопления энергии, таких как катушки индуктивности и конденсаторы. При определенных начальных условиях компоненты накопления энергии подвергаются процессу зарядки и разрядки. Что это за процесс?

1. Стационарное и переходное состояние.

При определенных условиях возбуждения состояние реакции любой системы имеет два состояния: относительно устойчивое и неустойчивое. В цепи достижение стабильного состояния означает, что напряжение и ток в цепи достигли стабильных значений при данных условиях. Нестабильное состояние относится к динамическим изменениям напряжения и тока во времени. Например: процесс зарядки конденсаторов и катушек индуктивности.

Устойчивое состояние (устойчивое состояние): Рабочее состояние, в котором все реакции в схеме либо постоянны, либо периодически меняются.

Переходный процесс (динамический, переходный): Процесс, при котором цепь переходит из одного устойчивого состояния в другое под действием определенного стимула. Это преобразование, как правило, не завершается мгновенно и требует процесса, который называется переходным процессом схемы.

Причины переходного состояния:

Внутренняя причина: схема является динамической, то есть схема содержит элементы накопления энергии L и C, и энергия может изменяться только непрерывно, но не скачкообразно;

Внешние факторы: существуют внешние стимулы, такие как переключение цепей, то есть включение и выключение, изменение источника питания, изменение параметров компонента и т. д.

Метод анализа переходного процесса: Уравнение цепи представляет собой дифференциальное уравнение с током и напряжением в качестве переменных. Поэтому существует два метода анализа переходных процессов:

① Метод анализа во временной области: метод прямого решения дифференциальных уравнений с использованием времени в качестве переменной.

② Метод комплексного анализа в частотной области: метод решения дифференциальных уравнений с использованием интегрального преобразования. Например, независимая переменная преобразуется в комплексную частотную переменную с помощью преобразования Лапласа.

2. Изменить маршрут

Изменение цепи: общий термин для цепи, которая подвергается новой стимуляции, в частности, подключению, отключению, короткому замыканию ветви цепи или внезапным изменениям параметров цепи и изменениям в методах подключения цепи. При проведении теоретического анализа мы предполагаем, что переключение путей происходит мгновенно.

Определите следующие три момента:

t=0 Указывает время смены дороги (точка отсчета времени);

t=0_{-} Представляет момент перед сменой дороги (смена дороги еще не произошла);

t=0_{+} Представляет момент после изменения пути (изменение пути произошло);

Изменение энергии в элементе хранения энергии требует времени. То есть динамические схемы обычно не могут достичь нового стабильного состояния сразу из исходного стабильного состояния после изменения путей.

Конденсаторный накопитель энергии

Индуктивный накопитель энергии

В момент переключения, когда ток емкостного элемента имеет ограниченное значение, напряжение конденсатора обычно не может внезапно измениться; когда напряжение индуктивного элемента имеет ограниченное значение, ток дросселя обычно не может измениться внезапно.

Это начальное состояние динамической схемы.

3. Начальные условия динамической схемы.

Как определить:

1. Нарисуйте эквивалентную схему в момент t=0−час.,Схема уже находится в стабильном состоянии,Конденсатор находится в разомкнутой цепи, а дроссель в коротком замыкании.,Решатьu_{C}(0_{-}) иi_{L}(0_{-})。

2. u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})и i_{L}(0_{+})=i_{L}(0_{-})

3. Нарисуйте эквивалентную схему в момент времени t=0+, фаза конденсатора использует источник напряжения (размер u_{C}(0_{+})）заменять、Источник тока для катушки индуктивности（Размер i_{L}(0_{+})）заменять。

4. Используя метод анализа цепи постоянного тока, который мы изучили ранее, мы можем получить другие параметры цепи при t=0+.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

7.2. Реакция схем первого порядка при нулевом входе

Схема первого порядка: Схема, которую можно описать дифференциальным уравнением первого порядка.

Нулевой входной отклик: возбуждение от внешнего источника питания отсутствует, а отклик вызван только начальным накоплением энергии элемента накопления энергии.

1. Нулевой входной отклик схемы серии RC.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

При опорных направлениях тока и напряжения, показанных на рисунке, уравнение цепи после изменения схемы получается из КВЛ:

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

мы знаем：i=-C\frac{du_{C}}{dt}а такжеu_{R}=RiПодставив в приведенную выше формулу, мы можем получить：

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого есть

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Характеристическое уравнение: RCp+1=0,Характеристический корень p=-\frac{1}{RC},такиметь

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

задайте начальные условия u_{C}(0_{+})=u_{C}(0_{-})=U_{s},Подставим в интегральную константу:

A=U_{s}=U_{0}

Найдите решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, то есть нулевое входное напряжение реакции и ток конденсатора соответственно

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

когда t→∞ час, u_{C}\rightarrow0 、i\rightarrow0 。

Постоянная времени: очень важное понятие. Обратите внимание на выражение ответа с нулевым входом, определенное здесь:

\tauРазмеры：Второй

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

сказать\tauдля схемычаспостоянная времени。Его размер отражает скорость продвижения процесса перехода схемы.,Это важная физическая величина, отражающая особенности переходного процесса.

Значение константы между час: когда t=\tau час

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Постоянная времени в час — это время в час, необходимое для того, чтобы количество, которое распадается по экспоненциальному закону, распалось до 36,8% в час от своего первоначального значения.

Теоретически: разрядка занимает бесконечное количество времени, чтобы закончиться,Инженерный вид：пройти3\tau\sim5\tauчас Переходный процесс завершается。

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Чем больше константа между часом,Чем медленнее распад,Переходный процесс длится дольше.

В RC-цепи полная энергия, потребляемая резистором R в процессе разряда конденсатора С, равна

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

То есть: вся энергия электрического поля, выделяемая конденсатором в процессе разряда, преобразуется в энергию (тепловую энергию), потребляемую резистором.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

2. Нулевой входной отклик схемы серии RL.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Схема, показанная на рисунке, изначально находилась в установившемся состоянии. t=0 время, когда переключатель К замкнут. Ориентировочные направления тока и напряжения показаны на рисунке, а уравнение цепи после изменения схемы получается из КВЛ. ：

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Очевидно, что это линейное однородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, и его общее решение имеет вид

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Таким образом, получается решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, т. е. нулевые входное напряжение реакции и ток дросселя соответственно равны

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

После изменения схемы напряжение и ток катушки индуктивности экспоненциально спадают до 0. Его кривая показана на рисунке.

Постоянная времени цепи RL равна:

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

сказать\tauдляRLсхемачаспостоянная времени。同样Его размер отражает скорость продвижения процесса перехода схемы.。Чем больше константа между часом,Переходный процесс длится дольше.

В процессе перехода цепи элемент индуктора непрерывно выделяет энергию и потребляется резистором. Наконец, вся энергия магнитного поля, первоначально накопленная в индукторе, поглощается резистором и преобразуется в тепловую энергию.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

7.3. Реакция схем первого порядка в нулевом состоянии.

Нулевое состояние: Исходное состояние всех элементов накопления энергии в схеме равно нулю:

Исходное состояние емкостного элемента

Исходное состояние емкостного элемента

Реакция в нулевом состоянии: схема в нулевом состоянии, реакция вызвана внешним возбуждением.

1. Реакция RC-цепи в нулевом состоянии.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Источник постоянного напряжения U_{s}через резисторRк конденсаторуCЗаряжать,Схема изображена на рисунке。При опорных направлениях тока и напряжения, показанных на рисунке, уравнение цепи после изменения схемы получается из КВЛ:

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Уравнение схемы отклика нулевого состояния RC-цепи

Очевидно, это линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение уравнения состоит из двух частей.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Первая часть представляет собой специальное решение дифференциального уравнения: называется вынужденной составляющей или установившейся составляющей.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Вторая часть представляет собой общее решение соответствующего однородного уравнения: называется свободной составляющей или переходной составляющей.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Общее решение этого уравнения цепи:

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Подставьте следующие начальные условия в приведенное выше уравнение, чтобы получить интегральную константу

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Наконец, полное решение реакции нулевого состояния получается как:

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

процесс ответа：напряжение конденсатораu_{c}Начиная с начального значения, равного нулю, и экспоненциально приближаясь к конечному значению.,Прямо сейчас Источник постоянного напряжения НапряжениеU_{s} , причем ток скачет до максимального значения сразу после изменения схемы, а затем начинает экспоненциально затухать до нуля от этого начального значения.

Цепь подключена Источник постоянного напряжения的过程也就是电源через резисторк конденсатору Заряжать的过程。在Заряжать过程中,Часть энергии, вырабатываемой источником питания, преобразуется в энергию электрического поля и сохраняется в конденсаторе.,Часть ее преобразуется в тепловую энергию сопротивлением.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Проблемы с эффективностью зарядки:

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

В процессе зарядки только половина энергии, вырабатываемой источником питания, преобразуется в энергию электрического поля и сохраняется в конденсаторе, а другая половина потребляется резистором. Другими словами, эффективность зарядки составляет 50%.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

2. Реакция нулевого состояния цепи RL.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

На рисунке индуктор не имеет запасенной энергии до изменения схемы. t=0 час закрыть переключатель. При опорных направлениях тока и напряжения, показанных на рисунке, уравнение цепи после изменения схемы получается из КВЛ.

Уравнение схемы отклика нулевого состояния цепи RL

Подобно RC-цепи, это по-прежнему линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, и решение по-прежнему состоит из двух частей.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Среди них стационарная составляющая i^{'}=\frac{U_{s}}{R}

Форма его переходного компонента:

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

так

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Замените начальные условия

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Процесс реакции схемы: Ток индуктора начинается с начального значения, равного нулю, и экспоненциально приближается к своему установившемуся значению.,После изменения схемы напряжение,напряжение достигает максимума,И начиная с этого начального значения, оно экспоненциально убывает до нуля. После достижения этого значения,Напряжение и ток больше не меняются,Фаза индуктивности закорочена.,Его напряжение равно нулю,Достигнуто новое устойчивое состояние.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

В это время запас энергии магнитного поля индуктора

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Примечание. Реакция в нулевом состоянии цепей RC и RL при возбуждении постоянным током. Если внешнее возбуждение увеличивается в K раз, реакция в нулевом состоянии также увеличивается в K раз, то есть реакция в нулевом состоянии имеет линейную зависимость от внешнее возбуждение.

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Добавьте комментарий к изображению, не более 140 слов (по желанию)

Для цепей первого порядка при возбуждении постоянным или синусоидальным переменным током.,можно решить методом трех элементов,То есть найдите начальное значение, установившееся значение и постоянную часа соответственно.